Question

6．在△ABC中，A，B，C为的a、b、c所对的角，若$cosBcosC-sinBsinC=\frac{1}{2}$．
（1）求A；
（2）若$a=2\sqrt{3}，\;b+c=4$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，即可求出A的度数；
（2）利用余弦定理和完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，
再利用三角形面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）△ABC中，cosBcosC-sinBsinC=$\frac{1}{2}$，
∴cos（B+C）=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜B+C＜π，
∴B+C=$\frac{π}{3}$，
又A+B+C=π，
∴A=$\frac{2π}{3}$；                                        
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，
得（2$\sqrt{3}$）²=（b+c）²-2bc-2bc•cos$\frac{2π}{3}$，
把b+c=4代入得：12=16-2bc+bc，
解得bc=4，
则△ABC的面积为
S=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解题的关键．