Question

（2013•青浦区一模）已

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），满足

m

•

n

=0．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(x)≤f(

A

2

)对所有的x∈R恒成立，且a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积公式可求出f（x）的解析式，然后利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，最后利用周期公式可求出所求；
（2）根据f(x)≤f(

A

2

)对所有的x∈R恒成立可求出角A，然后利用余弦定理求出b与c的等量关系，利用基本不等式和构成三角形的条件可求出b+c的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=0，

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），
∴（2cosx+2

3

sinx）cosx-y=0
即f（x）=（2cosx+2

3

sinx）cosx
=2cos²x+2

3

sinxcosx
=1+cos2x+

3

sin2x
=1+2sin（2x+

π

6

）
T=

2π

2

=π
∴f（x）的最小正周期为π．
（2）∵f(x)≤f(

A

2

)对所有的x∈R恒成立
∴1+2sin（2x+

π

6

）≤1+2sin（A+

π

6

）对所有的x∈R恒成立
即sin（2x+

π

6

）≤sin（A+

π

6

）对所有的x∈R恒成立，而A是三角形中的角
∴A=

π

3

∴cosA=cos

π

3

=

b2+c2-4

2bc

即b²+c²=4+bc即（b+c）²=4+3bc≤4+3(

b+c

2

)2
∴（b+c）²≤16即b+c≤4
而b+c＞a=2
∴2＜b+c≤4即b+c的取值范围为（2，4]

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及三角函数中的恒等变换应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．