Question

函数f（x）=x+sinx（x∈R）（　　）

• A、是奇函数，且在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）上是减函数
• B、是奇函数，且在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）上是增函数
• C、是偶函数，且在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）上是减函数
• D、是偶函数，且在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）上是增函数

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数；f′（x）=1+cosx≥0所以函数f（x）=x+sinx（x∈R）在（-∞，+∞）上是增函数，在（-

π

2

，

π

2

）上也是增函数．

解答： 解：f（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），故函数f（x）是奇函数；
求导函数可得f′（x）=1+cosx
∵-1≤cosx≤1
∴f′（x）=1+cosx≥0
∴函数f（x）=x+sinx（x∈R）在（-∞，+∞）上是增函数
所以函数f（x）=x+sinx在（-

π

2

，

π

2

）上是增函数
故选：B．

点评：本题主要考察了函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，属于基础题．