【题目】已知函数,曲线在原点处的切线为.
(1)证明:曲线与轴正半轴有交点;
(2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线为直线,求证:曲线上的点都不在直线的上方;
(3)若关于的方程(为正实数)有不等实根,求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】分析:(1)求得,由,解得,利用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理可得结果;(2)曲线在点处的切线,令,可证明对任意实数都有,即对任意实数都有,从而可得结论;(3)因为,所以为减函数,设方程的根为,由(2)可知,所以,利用导数研究函数的单调性,构造函数,可得,从而可得结论.
详解:(1)求得,由已知得:,解得,
即,所以在上单调递增,在上单调递减,又,所以,存在,
使得,即曲线与轴正半轴有交点;
(2)曲线在点处的切线,令,则,又,当时,单调递增,当时,单调递减,所以对任意实数都有,即对任意实数都有,
故曲线上的点都不在直线的上方;
(3)因为,所以为减函数,设方程的根为,由(2)可知,
所以,
记,则,当时,单调递增,当时,,单调递减,所以,对任意的实数,都有,即,
设方程的根,则,所以,
于是,令,又,则,所以在上为增函数,又,所以,,所以.
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于点M、N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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【题目】已知a∈R,i是虚数单位,命题p:在复平面内,复数z1=a+ 对应的点位于第二象限;命题q:复数z2=a﹣i的模等于2,若p∧q是真命题,则实数a的值等于( )
A.﹣1或1
B. 或
C.
D.
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【题目】某商场销售某种品牌的空调器,每周周初购进一定数量的空调器,商场每销售一台空调器可获利500元,若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调器仅获利润200元. (Ⅰ)若该商场周初购进20台空调器,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量n(单位:台,n∈N)的函数解析式f(n);
(Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共10周)空调器需求量n(单位:台),整理得表:
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进20台空调器,X表示当周的利润(单位:元),求X的分布列及数学期望.
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【题目】一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关,现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度 | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
(1)若用线性回归模型,求关于的回归方程(精确到0.1);
(2)若用非线性回归模型求关的回归方程为,且相关指数
①试与(1)中的线性回归模型相比,用说明哪种模型的拟合效果更好.
②用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为;相关指数.
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【题目】某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度 (单位: )服从正态分布,公司规定:轮胎宽度不在内将被退回生产部重新生产.
(1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到);
(2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取件作检验,这件产品中至少有件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格.
()求这批轮胎初步质检合格的概率;
()若质检部连续质检了批轮胎,记为这批轮胎中初步质检合格的批数,求的数学期望.
附:若,则 .
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【题目】已知: =(﹣ sinωx,cosωx), =(cosωx,cosωx),ω>0,记函数f(x)= ,且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递减区间.
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【题目】两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离”;若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相切”.已知直线,,和圆:相切,则实数的取值范围是( )
A. 或B. 或
C. 或D. 或
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为( 为参数),以为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程;
(2)极坐标方程为的直线与交 , 两点,求线段的长.
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