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【题目】已知函数,曲线在原点处的切线为.

(1)证明:曲线轴正半轴有交点;

(2)设曲线轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线为直线,求证:曲线上的点都不在直线的上方;

(3)若关于的方程为正实数)有不等实根,求证:.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】分析:(1)求得,解得利用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理可得结果;(2)曲线在点处的切线,令可证明对任意实数都有,即对任意实数都有,从而可得结论;(3)因为,所以为减函数,设方程的根为,由(2)可知,所以利用导数研究函数的单调性,构造函数可得从而可得结论.

详解(1)求得,由已知得:,解得

,所以上单调递增,在上单调递减,又,所以,存在

使得,即曲线轴正半轴有交点

(2)曲线在点处的切线,令,则,又,当时,单调递增,当时,单调递减,所以对任意实数都有,即对任意实数都有

故曲线上的点都不在直线的上方;

(3)因为,所以为减函数,设方程的根为,由(2)可知

所以

,则,当时,单调递增,当时,,单调递减,所以,对任意的实数,都有,即

设方程的根,则,所以

于是,令,又,则,所以上为增函数,又,所以,,所以.

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A.﹣1或1
B.
C.
D.

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(Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共10周)空调器需求量n(单位:台),整理得表:

周需求量n

18

19

20

21

22

频数

1

2

3

3

1

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温度

21

23

24

27

29

32

产卵数/个

6

11

20

27

57

77

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(2)若用非线性回归模型求的回归方程为,且相关指数

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()求这批轮胎初步质检合格的概率;

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附:若,则 .

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A. B.

C. D.

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