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    【题目】已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的投影分别P、Q．

    （1）已知，若，求直线l的方程；

    （2）设P、Q的中点为M，请判断PF与MB的位置关系并说明理由．

    【答案】（1）（2）．见解析

    【解析】

    （1）将抛物线方程化为，求出焦点，设，，根据向量的坐标运算由可得，再根据，，两式相减求出直线的斜率，利用点斜式即可求解.

    （2）依题意求出抛物线C的准线方程为：，设直线l的方程为：，将直线与抛物线联立消y得，由韦达定理可得，，然后由一直求出，，利用向量共线的坐标表示即可求解.

    解：（1）抛物线，化为，

    所以抛物线C的焦点

    设，，

    所以，，，

    由，得，

    又，，两式相减得：

    ，

    所以，

    所以直线l的方程为：．

    （2），理由如下：

    依题意可知抛物线C的准线方程为：，

    依题意可设直线l的方程为：，

    联立消y得，

    所以，，

    又，，，

    所以，

    ，

    因为

    所以，所以．

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    【题目】数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象上所有的点（ ）

    A.向左平移个单位长度，纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

    B.向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变

    C.向右平移个单位长度，纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

    D.向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表：

    （1）写出线下培训茎叶图中成绩的中位数，估算在线培训直方图的中位数（保留一位小数）；

    （2）得分90分及以上为成绩优秀，完成下边列联表，并判断是否有的把握认为成绩优秀与培训方式有关？

    优秀

    非优秀

    合计

    线下培训

    在线培训

    合计

    附：．

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某工厂改造一废弃的流水线M，为评估流水线M的性能，连续两天从流水线M生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为X.

    第一天

    直径/mm

    58

    59

    61

    62

    63

    64

    65

    66

    67

    68

    69

    70

    71

    73

    合计

    件数

    1

    1

    3

    5

    6

    19

    33

    18

    4

    4

    2

    1

    2

    1

    100

    第二天

    直径/mm

    58

    60

    61

    62

    63

    64

    65

    66

    67

    68

    69

    70

    71

    73

    合计

    件数

    1

    1

    2

    4

    5

    21

    34

    21

    3

    3

    2

    1

    1

    1

    100

    经计算，第一天样本的平均值，标准差第二天样本的平均值，标准差

    （1）现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能.

    （i）计算这两天抽取200件样本的平均值和标准差（精确到0.01）；

    （ii）现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率），①；②；③评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线M的性能等级.

    （2）将直径X在范围内的零件认定为一等品，在范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设为抽到次品的件数，求分布列及其期望.

    附注：参考数据：，，；

    参考公式：标准差.

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    【题目】已知函数，a为常数.

    （1）讨论函数的单调性：

    （2）若函数有两个极值点，且，求证：.

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    【题目】国家规定每年的月日以后的天为当年的暑假.某钢琴培训机构对位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：

    授课量（单位：小时）

    频数

    培训机构专业人员统计近年该校每年暑假天的课时量情况如下表：

    课时量（单位：天）

    频数

    （同组数据以这组数据的中间值作代表）

    （1）估计位钢琴老师一日的授课量的平均数；

    （2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为元/小时，每天的各类生活成本为元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元的概率.

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    【题目】椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．

    （1）求椭圆的方程；

    （2）过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求的面积．

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    【题目】已知圆： 经过椭圆： 的左右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，直线交椭圆于， 两点，且（）.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）当三角形的面积取得最大值时，求直线的方程.

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    【题目】在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：

    （1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；

    （2）新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常．

    （i）在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为．第一天，若某位感染者产生名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap；第二天，若每位感染者都产生a名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为；以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为．写出，；

    （ii）在（i）的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均为，且满足关系，此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为．当最大，且时，根据和的值说明戴口罩的必要性．（精确到）

    参考公式：函数的导函数；

    参考数据：，，．

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