Question

已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：
（1）a+b+c≥

1

a

+

1

b

+

1

c

；
（2）a²+b²+c²≥

a

+

b

+

c

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用,推理和证明

分析：利用均值不等式，结合abc=1，即可证明结论．

解答： 证明：∵a，b，c∈R⁺
∴a+b≥2

ab

，b+c≥2

bc

，a+c≥2

ac

∴2a+2b+2c≥2

ab

+2

bc

+2

ac

∴a+b+c≥

ab

+

bc

+

ac

∵abc=1，
∴a+b+c≥

1

a

+

1

b

+

1

c

；
（2）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
∵ab+bc+ac=

1

c

+

1

a

+

1

b

≥

1

bc

+

1

ac

+

1

ab

=

a

+

b

+

c

，
∴a²+b²+c²≥

a

+

b

+

c

．

点评：此题主要考查均值不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．