Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）e^-x的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（-1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．
（Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=2a(2a+3)=4(a+

3

4

)2-

9

4

，
故当a=-

3

4

时，bc取得最小值-

9

4

．
此时有b=-

3

2

，c=

3

2

．
从而f(x)=-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

，f′(x)=-

3

2

x-

3

2

，g（x）=-f（x）e^-x=（

3

4

x²+

3

2

x-

3

2

）e^-x，
所以g′(x)=[f(x)-f′(x)e-x]=-

3

4

(x2-4)e-x
令g'（x）=0，解得x₁=-2，x₂=2．
当x∈（-∞，-2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（-∞，-2）上为减函数；
当x∈（-2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为增函数．
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）．

点评：本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题时注意复合函数的求导法则．