【题目】已知函数,,其中.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题本题主要考查利用导数求函数的极值、单调区间、最值等基础知识及分类讨论思想,也考查了学生分析问题解决问题的能力及计算能力.第一问先对函数进行求导,再把极值点代入导函数求得实数a的值;第二问对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x)min≥g(x)max,利用导数分别判断函数f (x)、g(x)的单调性并求其在定义域范围内的最值,判断单调性时可对实数a进行分类讨论,则可求得实数a的取值范围.
试题解析:(1)∵h(x)=2x++ln x,其定义域为(0,+∞),∴h′(x)=2-+,
∵x=1是函数h(x)的极值点,∴h′(1)=0,即3-a2=0.
∵a>0,∴a=.
经检验当a=时,x=1是函数h(x)的极值点,∴a=.
(2)对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x)min≥g(x)max.
当x∈[1,e]时,g′(x)=1+>0.
∴函数g(x)=x+ln x在[1,e]上是增函数,∴g(x)max=g(e)=e+1.
∵f′(x)=1-=,且x∈[1,e],a>0.
①当0<a<1且x∈[1,e]时,f′(x)=>0,
∴函数f(x)=x+在[1,e]上是增函数,∴f(x)min=f(1)=1+a2.
由1+a2≥e+1,得a≥,又0<a<1,∴a不合题意.
②当1≤a≤e时,
若1≤x≤a,则f′(x)=<0,
若a<x≤e,则f′(x)=>0.
∴函数f(x)=x+在[1,a)上是减函数,在(a,e]上是增函数.
∴f(x)min=f(a)=2a.
由2a≥e+1,得a≥. 又1≤a≤e,∴≤a≤e.
③当a>e且x∈[1,e]时f′(x)=<0,
函数f(x)=x+在[1,e]上是减函数.∴f(x)min=f(e)=e+.
由e+≥e+1,得a≥,又a>e,∴a>e.
综上所述,a的取值范围为[,+∞).
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【题目】(本题满分15分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(,).
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
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【题目】设a为实数,函数,
(1)若,求不等式的解集;
(2)是否存在实数a,使得函数在区间上既有最大值又有最小值?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)写出函数在R上的零点个数(不必写出过程).
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知动点都在曲线(为参数,是与无关的正常数)上,对应参数分别为与,为的中点.
(1)求的轨迹的参数方程;
(2)作一个伸压变换:,求出动点点的参数方程,并判断动点的轨迹能否过点.
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【题目】已知函数, ,在处的切线方程为.
(1)求, ;
(2)若,证明: .
【答案】(1), ;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到关于 的方程组,解出即可;
(2)由(1)可知, ,
由,可得,令, 利用导数研究其单调性可得
,
从而证明.
试题解析:((1)由题意,所以,
又,所以,
若,则,与矛盾,故, .
(2)由(1)可知, ,
由,可得,
令,
,
令
当时, , 单调递减,且;
当时, , 单调递增;且,
所以在上当单调递减,在上单调递增,且,
故,
故.
【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法,以及利用导数证明不等式的方法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(, 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点, 与原点构成,且满足,求面积的最大值.
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【题目】已知函数是上的偶函数,对于任意都有成立,当,且时,都有.给出以下三个命题:
①直线是函数图像的一条对称轴;
②函数在区间上为增函数;
③函数在区间上有五个零点.
问:以上命题中正确的个数有( ).
A.个B.个C.个D.个
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【题目】从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分别直方图.
(1)求这100份数学试卷成绩的中位数;
(2)从总分在和的试卷中随机抽取2份试卷,求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率.
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【题目】如图所示,为了测量某一隧道两侧A、B两地间的距离,某同学首先选定了不在直线AB上的一点C(中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c),然后确定测量方案并测出相关数据,进行计算.现给出如下四种测量方案;①测量∠A,∠C,b;②测量∠A,∠B,∠C;③测量a,b,∠C;④测量∠A,∠B,a,则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为( )
A.①③B.①③④C.②③④D.①②④
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