【题目】已知函数.
(1)当时,若在区间上的最小值为,求的取值范围;
(2)若对任意, ,且恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由题意当a>0时,求导,令f′(x)=0,根据函数的单调性与导数的关系,分类讨论,求得f(x)的最小值,求得a的取值范围;
(2)设g(x)=f(x)+2x,求导,令当a=0时,,g(x)在(0,+∞)上单调递增,当a≠0时,只需g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,根据二次函数的性质,即可求得a的取值范围.
试题解析:
(1)函数的定义域是.当时,
,
令,得,
所以或.
当,即时,在上单调递增,所以在上的最小值是;
当时,在上的最小值是,不合题意;
当时,在上单调递减, 在上的最小值是,
不合题意,
综上:.
(2)设,即,
只要在上单调递增即可,而,
当时,,此时在上单调递增;
当时,只需在上恒成立,因为,只要,
则需要,对于函数,过定点,对称轴,只需
即,综上,.
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
参考公式: .
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【题目】已知数列的前项和为, , .等 差数列中, ,且公差.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得?.若存在,求出的最小值;若 不存在,请说明理由.
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【题目】分类变量X和Y的列联表如下:
y1 | y2 | 总计 | |
x1 | a | b | a+b |
x2 | c | d | c+d |
总计 | a+c | b+d | a+b+c+d |
则下列说法中正确的是( )
A.ad-bc越小,说明X与Y关系越弱
B.ad-bc越大,说明X与Y关系越强
C.(ad-bc)2越大,说明X与Y关系越强
D.(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y关系越强
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【题目】近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:
患三高疾病 | 不患三高疾病 | 合计 | |
男 | 6 | 30 | |
女 | |||
合计 | 36 |
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式 ,其中 )
(1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 人,其中女性抽多少人?
(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量 ,并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关?
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【题目】设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x﹣2),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=( )x﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)有3个不同的实数根,则a的取值范围是( )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(1, )
D.( ,2)
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【题目】如图所示,在三棱锥A-BOC中,OA⊥底面BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,BC=,动点D在线段AB上.
(1)求证:平面COD⊥平面AOB;
(2)当OD⊥AB时,求三棱锥C-OBD的体积.
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【题目】如图,在直角梯形中, 点是边的中点,将沿折起,使平面平面,连接得到如图所示的几何体.
(1)求证; 平面;
(2)若二面角的平面角的正切值为求二面角的余弦值.
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