Question

设f（x）在[0，1]上有定义，要使函数f（x-a）+f（x+a）有定义，则a的取值范围为（　　）

• A、(-∞，-

  1

  2

  )
• B、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C、(

  1

  2

  ，+∞)
• D、(-∞，-

  1

  2

  ]∪[

  1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：先表示出函数f（x-a）+f（x+a）的定义域，然后根据定义域不是空集展开讨论即可．

解答：解：由条件得：

0≤x+a≤1 0≤x-a≤1

即

-a≤x≤1-a a≤x≤1+a

∴函数y=f（x+a）+f（x-a）的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集．
（1）当a＞1/2时，1-a＜a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义；
（2）当0≤a≤1/2时，-a≤a≤1-a≤1+a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a}，
即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}；
（3）当-1/2≤a＜0时，a＜-a≤1+a＜1-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a}，
即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；
（4）当a＜-1/2时，1+a＜-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义．
要使函数f（x-a）+f（x+a）有定义，a∈[-

1

2

，

1

2

]
故选B．

点评：本题主要考查函数定义域的问题．属中档题．