Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过A（t₁，y₁）、B（t₂，y₂）两点，且满足a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0．
（1）证明y₁=-a或y₂=-a；
（2）证明函数f（x）的图象必与x轴有两个交点；
（3）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}，解关于x的不等式cx²-bx+a＞0．

Answer 1

分析：（1）由题知a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0解得y₁或y₂即可；
（2）讨论a＞0，函数为开口向上的抛物线，a＜0时函数图象开口向下，由（2）得图象上的点A、B的纵坐标大于小于0得到与x轴有两个交点即可；
（3）根据已知不等式的解集得到a的符号且可得ax²+bx+c=0的两根为m，n，然后利用根与系数的关系化简不等式求出解集即可．

解答：解：（1）证明：∵a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，
∴（a+y₁）（a+y₂）=0，得y₁=-a或y₂=-a．
（2）证明：当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且小于零，
∴图象与x轴有两个交点．
当a＜0时，二次函数f（x）的图象开口向下，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且大于零，
∴图象与x轴有两个交点．
故二次函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）∵ax²+bx+c＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}．
根据一元二次不等式大于0取两边，从而可判定a＞0，
并且可得ax²+bx+c=0的两根为m，n，
∴

m+n=- b a m•n= c a ＞0

，∴a＞0
∴

m+n

m•n

=

- b a

a c

=-

b

c

．
而cx²-bx+a＞0?x²-

b

c

x+

a

c

＞0?x²+（

m+n

mn

）x+

1

mn

＞0?（x+

1

m

）（x+

1

n

）＞0，
又∵n＜m＜0，∴-

1

n

＜-

1

m

，∴x＞-

1

m

或x＜-

1

n

．
故不等式cx²-bx+a＞0的解集为{x|x＞-

1

m

或x＜-

1

n

}．

点评：考查学生函数与方程的综合运用能力，以及一元二次方程根与系数关系的灵活运用，不等式取解集方法的运用能力．