Question

如图梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，过点C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，现将梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直线BD与平面ABCE所成角的正切值；
（2）设线段AB的中点为P，在直线DE上是否存在一点M，使得PM∥面BCD？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

Answer 1

（1）连接BE，因为梯形ABCD，∠A=90°，CE∥AB，
所以DE⊥EC，
又∵面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，
所以∠DBE为所求．
设BC=1，有AB=1AD=2，所以DE=1EB=

2

，
所以tan∠DBE=

DE

BE

=

2

2

．…（6分）
（2）存在点M，当M为线段DE的中点时，PM∥平面BCD，
取CD的中点N，连接BN，MN，则MN∥=

1

2

AB∥=PB
所以PMNB为平行四边形，所以PM∥BN
因为BN在平面BCD内，PM不在平面BCD内，
所以PM∥平面BCD．…（12分）