Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²=4和直线l：2x+y-10=0，点P为圆C上任意一点．
（1）若直线l'∥l，且l'被圆C截得的弦长为2

3

，求直线l'的方程；
（2）过点P作圆C的切线，设此切线交直线l于点T，若PT=

21

，求点T的坐标；
（3）已知A（2，2），是否存在定点B（m，n），使得

PA

PB

为定值k（k＞1）？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据平行直线的直线系方程，我们设出直线l'的方程，进而根据圆C：x²+y²=4的圆心（0，0）到l'的距离d与半弦长

l

2

=

3

及半径r=2构成直角三角形，满足勾股定理，求出圆心到直线的距离，进而由点到直线距离公式，构造关于m的方程，解方程即可求出直线l'的方程；
（2）根据过点P作圆C的切线，设此切线交直线l于点T，且PT=

21

，我们可得CT²=25，T点坐标为（x，y）根据两点之间距离公式，即可求出点T的坐标；
（3）存在（1，1）点为B点时，满足

PA

PB

为定值

3

＞1，由两点间距离公式，结合P点在圆上满足x²+y²=4，易证得结论．

解答：解：（1）直线l'∥l，
可设l'：2x+y+m=0
∵l'被圆C截得的弦长为2

3

，
故圆C：x²+y²=4的圆心（0，0）到l'的距离d与半弦长

l

2

=

3

及半径r=2构成直角三角形，满足勾股定理
即d²=r²-（

l

2

）²=4-3=1，即d=1
又∵弦心距d=

|m|

5

∴1=

|m|

5

解得m=±

5

即l'的方程为：2x+y±

5

=0
（2）∵PT与圆切于P点
∴CT²=PT²+CP²=25
设T点坐标为（x，y）则

2x+y-10=0 x2+y2=25

解得

x=3 y=4

或

x=5 y=0

即T点坐标为（3，4）或（5，0）
（3）存在（1，1）点为B点时，满足

PA

PB

为定值

2

＞1满足要求，
理由如下：
P点到A（2，2）的距离平方为（x-2）²+（y-2）²=x²+y²-4x-4y+8=12-4x-4y
P点到B（1，1）的距离平方为（x-1）²+（y-1）²=x²+y²-2x-2y+2=6-2x-2y
即

PA2

PB2

=

12-4x-4y

6-2x-2y

=2
故

PA

PB

=

2

＞1

点评：本题考查的知识点是直线与圆的方程及应用，直线与圆相交的性质，直线与圆相切的性质，点到点的距离公式，点到直线的距离公式，其中（1）的关键是圆C：x²+y²=4的圆心（0，0）到l'的距离d与半弦长

l

2

=

3

及半径r=2构成直角三角形，满足勾股定理；（2）的关键是根据已知求出CT²=25，（3）的关键是求出B点坐标．