【题目】已知椭圆过点
,顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
,点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)已知点,是椭圆
上的两点.
(ⅰ)若,且
为等边三角形,求
的面积;
(ⅱ)若,证明:
不可能为等边三角形.
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据面积公式得到,以及点在曲线上,代入得到
,以及
,求得
;(Ⅱ)(ⅰ)根据等边三角形的性质,可得直线
的倾斜角是
或
,这样求得直线
的方程,联立椭圆方程,得到点
的坐标,求得面积;(ⅱ)因为
,所以斜率存在,设直线
的方程是
,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,并且表示线段
中点
的坐标,若是等边三角形,则
,可求得
,不合题意.
试题解析:(Ⅰ)依题意, ,
,联立两式,解得
,
,故椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)(ⅰ)由且
为等边三角形及椭圆的对称性可知,直线
和直线
与
轴的夹角为
,由
可得
.
即或
,当
时,
的面积为
;
当时,
的面积为
.
(ⅱ)因为,故直线
斜率存在,设直线
,
中点为
,联立
消去
得,
由得到
,①
所以,
,
所以.
又,若
为等边三角形,则有
,
即,即
,化简得
,②
由②得点横坐标为
,不合题意.
故不可能为等边三角形.
(用点差法求点坐标也可)
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【题目】已知向量 ,向量
,函数f(x)=
.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象上所有点向右平行移动 个单位长度,得函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间[0,π]上的值域.
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【题目】有三支股票,
,
,28位股民的持有情况如下:每位股民至少持有其中一支股票,在不持有
股票的人中,持有
股票的人数是持有
股票的人数的2倍.在持有
股票的人中,只持有
股票的人数比除了持有
股票外,同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中,有一半持有
股票.则只持有
股票的股民人数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数,
在
和
处取得极值,且
,曲线
在
处的切线与直线
垂直.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)证明关于的方程
至多只有两个实数根(其中
是
的导函数,
是自然对数的底数).
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【题目】某市为了引导居民合理用水,居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法,具体如下:第一阶梯,每户居民月用水量不超过12吨,价格为4元/吨;第二阶梯,每户居民月用水量超过12吨,超过部分的价格为8元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样获得了100户居民的月用水量(单位:吨),将数据按照,
,…,
分成8组,制成了如图1所示的频率分布直方图.
(图1) (图2)
(Ⅰ)求频率分布直方图中字母的值,并求该组的频率;
(Ⅱ)通过频率分布直方图,估计该市居民每月的用水量的中位数的值(保留两位小数);
(Ⅲ)如图2是该市居民张某2016年1~6月份的月用水费(元)与月份
的散点图,其拟合的线性回归方程是
. 若张某2016年1~7月份水费总支出为312元,试估计张某7月份的用水吨数.
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【题目】设m个正数a1 , a2 , …,am(m≥4,m∈N*)依次围成一个圆圈.其中a1 , a2 , a3 , …ak﹣1 , ak(k<m,k∈N*)是公差为d的等差数列,而a1 , am , am﹣1 , …,ak+1 , ak是公比为2的等比数列.
(1)若a1=d=2,k=8,求数列a1 , a2 , …,am的所有项的和Sm;
(2)若a1=d=2,m<2015,求m的最大值;
(3)是否存在正整数k,满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3(ak+1+ak+2+…+am﹣1+am)?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC
(1)求三棱锥D-ABC的体积
(2)求证:平面DAC⊥平面DEF;
(3)若M为DB中点,N在棱AC上,且CN=CA,求证:MN∥平面DEF
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