【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，其中点
在以
为直径的圆上，
，
，
，平面
平面.
（1）证明：
平面.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接
，
，根据直径所对圆周角是直角，得到
，计算出
的长，通过勾股定理证得
，再根据面面垂直的性质定理得到
平面
.（2）
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系通过计算平面
和平面
的法向量，计算二面角
的余弦值，进而求得其正弦值.
（1）证明：连接，，因为点在以
为直径的圆上，所以.
因为
，所以
，
.
所以
.
因为为等腰梯形，
，
所以
.
又因为
，
，
所以
，从而得.
又因为平面
平面，平面
平面
，
所以平面.
（2）解：由（1）易知
，
，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
.
因为
，所以
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
由
，得
，令
，得
，
由
，得
，令
，得
，
所以
，所以
，
故二面角的正弦值为.
新思维寒假作业系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题，据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示，截止目前，该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次，梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、
，它们出现的概率依次是
、
、
、、t、
．
（1）求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；
（2）网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过
时，租车费为5元，若行驶路程超过，则按每超出
（不足也按计程）收费3元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设m，n为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线m1和n1，给出下列4个命题：①m1∥n1m∥n；②m∥nm1与n1平行或重合；③m1⊥n1m⊥n；④m⊥nm1⊥n1．其中所有假命题的序号是_____．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】随着我国经济的飞速发展，人民生活水平得到很大提高，汽车已经进入千千万万的家庭.大部分的车主在购买汽车时，会在轿车或者
中作出选择，为了研究某地区哪种车型更受欢迎以及汽车一年内的行驶里程，某汽车销售经理作出如下统计：
购买了轿车（辆） | 购买了 | |
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表
图
（I）根据表，是否有
的把握认为年龄与购买的汽车车型有关？
（II）图给出的是
名车主上一年汽车的行驶里程，求这名车主上一年汽车的平均行驶里程（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）用表中的频率估计概率，随机调查
名
岁以下车主，设其中购买了轿车的人数为
，求
的分布列与数学期望.
附：
，
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】将
个不同的红球和
个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出个球.
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；
（2）取出一个红球记
分，取出一个白球记
分，若取出个球的总分不少于
分，则有多少种不同的取法；
（3）若将取出的个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到个红球并且恰有一次取到个白球的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.
(1)求直线AB的方程；
(2)求直线BC的方程；
(3)求△BDE的面积．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系
中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
.
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，
），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
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