Question

过点作曲线的切线，切点为，过作轴的垂线交 轴于点，又过作曲线C的，切点为，过作轴的垂线交轴于点，…，依次下去得到一系列点，…，设点的横坐标为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求和；

（3）求证：．

Answer 1

解：（1）∵，∴．

若切点是，

则切线方程为．      …………………1分

当时，切线过点，

即：，

依题意．所以．       …………………2分

当时，切线过点，

即：，

依题意，所以．  ………………3分

所以数列是首项为，

公比为的等比数列．所以．  …………4分

（2）记，

因为，

所以．    …………………5分

两式相减，

得：

　　    

．   …………………7分

∴

．          …………………9分

（3）证法1：

 ．      

…………………14分

证法2：当时，

．…………………10分

假设时，结论成立，

即，

则．

即时．

．                        …………………13分

综上，　

对都成立．              …………………14分