Question

已知关x的方25x²-35x+m=0的两根为sin和cosα∈(0，

π

4

)
（1）m的值    （2）求sinα-cosα的值    （3）求

sin3α

1+tanα

-

sinα-cos3α

sinα+cosα

的值．

Answer 1

分析：（1）利用查韦达定理、同角三角函数的基本关系，待定系数法求得m=12．
（2）根据角α的范围可得sinα-cosα=-

(sinα-cosα)2

=

1-2sinα•cosα

，把sinα•cosα=

2m

25

=

24

25

 
代入，运算求得结果．
（3）由（1）求得sinα=

3

5

、cosα=

4

5

、tanα=

3

4

，代入要求的式子化简可得它的值．

解答：解：（1）由题意可得sinα+cosα=

35

25

，sinα•cosα=

m

25

，α∈(0，

π

4

)．
化简可得 1+2sinα•cosα=1+

2m

25

=

49

25

，∴m=12．
（2）∵α∈(0，

π

4

)，∴sinα＜cosα，
∴sinα-cosα=-

(sinα-cosα)2

=-

1- 24 25

=-

1

5

．
（3）由（1）得sinα+cosα=

35

25

，sinα•cosα=

m

25

，α∈(0，

π

4

)．
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，tanα=

3

4

．
∴

sin3α

1+tanα

-

sinα-cos3α

sinα+cosα

=

( 3 5 )3

1+ 3 4

-

3 5 -( 4 5 )3

3 5 + 4 5

=

108

875

-

55

875

=

53

875

．

点评：本题考查韦达定理、同角三角函数的基本关系的应用，求出sinα=

3

5

、cosα=

4

5

、tanα=

3

4

，是解题的关键．