Question

过直线2x+y+4=0与x²+y²+2x-4y+1=0有交点的圆，并且面积最小，满足此条件的圆的方程为

 

．

Answer 1

分析：设出所求圆的方程为x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4=0）=0，找出此时圆心坐标，当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，可得此时面积最小，把表示出的圆心坐标代入2x+y+4=0中，得到关于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，进而确定出所求圆的方程．

解答：解：可设圆的方程为x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4=0）=0，
即x²+y²+2（1+λ）x+（λ-4）y+4λ+1=0，
此时圆心坐标为（-1-λ，

4-λ

2

），
显然当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，
∴2（-1-λ）+

4-λ

2

+4=0，
解得：λ=

8

5

，
则所求圆的方程为：x²+y²+

26

5

x-

12

5

y+

37

5

=0．
故答案为：x²+y²+

26

5

x-

12

5

y+

37

5

=0

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，根据题意设出所求圆的方程，找出圆心坐标，得出圆心在直线2x+y+4=0上时面积最小是解本题的关键．