Question

若函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数均成立，则称f（x）为虚界函数，给出下列函数：
①f（x）=0；
②f（x）=x²；
③f（x）=sinx+cosx；
④f（x）=

x

x2+x+1

；
⑤f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足对一切实数均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
其中是虚界函数的序号为

①④⑤

．

Answer 1

分析：根据虚界函数的定义进行判定：对于①可以利用定义直接加以判断；②利用新定义|f（x）|≤M|x|，|x|≤M，对其进行判断；③利用特殊值法进行判断，令x=0进行判断；对于④，需要通过讨论，将不等式变形为|

x

x2+x+1

|≤m，可以求出符合条件的m的最小值，从而求解；⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，可以求出M的范围，从而求解；

解答：解：对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立，故f（x）为虚界函数，故①正确；
②f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故②不是虚界函数
③f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，||f（x）|≤M|x|可得1≤0不成立，故③错误；
④f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故对任意的m＞

4

3

都有|f（x）|＜m|x|，故其是虚界函数，g故④正确；
⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，
因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤|x|成立，存在M≥1＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意，故⑤正确．
故答案为：①④⑤；

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明，考查学生的阅读理解能力与分析问题解决问题的能力，解答的关键是对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．