Question

已知椭圆的一个顶点到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1；点P是椭圆上一点，且在x轴上方，直线PF₂的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），利用P到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1，且在x轴上方，直线PF₂的斜率为，建立方程组，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）△F₁PF₂的面积=×2c×y，由此可得结论．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），则a-c=1，a+c=5
∴a=3，c=2
∴=
∵P到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1，且在x轴上方，直线PF₂的斜率为．
∴，∴
∵P到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1，∴2a=6，∴a=3
∴b²=a²-c²=
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）△F₁PF₂的面积=×2c×y==．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的面积的计算，属于中档题．