Question

已知a、b、ω是实数，函数f（x）=asinωx+bcosωx满足“图象关于点（

π

3

，0）对称，且在x=

π

6

处f（x）取最小值”．若函数f（x）的周期为T，则以下结论一定成立的是（　　）

• A．a=0
• B．b=0
• C．T=

  2

  3

  π
• D．ω=9

Answer 1

分析：将f（x）=asinωx+bcosωx化为f（x）=

a2+b2

sin（ωx+φ），由题意可得

解答：解：当a=0时，则函数f（x）=bcosωx，故函数在x=0时取得最值，
若函数在x=

π

6

处f（x）取最小值，则必在x=

π

3

处f（x）取最值，故A错误；
∵函数f（x）=asinωx+bcosωx的图象关于点（

π

3

，0）对称，且在x=

π

6

处f（x）取最小值，
∴

π

3

-

π

6

=

T

4

+k•

T

2

，即

π

6

=

T

4

+k•

T

2

当k≠0时，T≠

2

3

π，故C错误；
由于f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+φ）
则sin(ω×

π

6

+φ)=-1，则ω×

π

6

+φ=2mπ-

π

2

(m∈Z)      ①
sin(ω×

π

3

+φ)=0，则ω×

π

3

+φ=nπ(n∈Z)              ②
故②-①得到ω×

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)
∴ω=6k+3（k∈Z），故D错误；
故结论一定成立的是B
故答案为 B

点评：本题主要考查了利用辅助角公式把函数化简为同一个角的三角函数，本题解题的关键是函数的一个对称中心，代入可以求出ω的值，根据对称轴可以求出a，b相等的条件，本题是一个中档题目．