Question

已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x²＋2ax，g(x)＝3a²lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．

(1)用a表示b；

(2)求F(x)＝f(x)－g(x)的极值；

(3)求b的最大值．

Answer 1

解析　(1)设y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(x₀，y₀)．

∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由题意f(x₀)＝g(x₀)，f′(x₀)＝g′(x₀)．

即有

(2

则F′．

所以F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数．

于是函数F(x)在x＝a时有极小值，

F(x)_极小＝F(a)＝F(x₀)＝f(x₀)－g(x₀)＝0，

F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋2ax－3a²lnx－b(x>0)无极大值．

(3)由(1)知令h(t)＝t²－3t²lnt(t>0)，

则h′(t)＝2t(1－3lnt)．

当t(1－3lnt)>0，即，h′(t)>0；

当t(1－3lnt)<0，即时，h′(t)<0.

故h(t)在()为增函数，在()为减函数．

于是h(t)在(0，＋∞)上的极大值即为最大值：.

即b的最大值为.