【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
为
的中点,
为
上一点,
交
于点
.
(1)证明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)连接交
于点
,连接
,要证
平面
,转证
即可;
(2)取的中点
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,平面
的法向量为
,平面
的法向量为
利用公式即可得到二面角
的余弦值.
试题解析:
(Ⅰ)证明:如图5,连接交
于点
,连接
,
∵平面
平面
且
为矩形,
∴平面
,
∴.
则在直角三角形中,
.
又∵为
的中点,
∴.
又∵,则
为
的中点,
在三角形中,
,
∵平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)解:取的中点
为坐标原点,建立如图6所示的空间直角坐标系
.
取的中点
,连接
,
在中,
,
分别为
,
的中点,
,
在中,
为
的中点,则
为
的中点, 故
.
,
,
设,
,
则,
.
设平面的法向量为
,
解得
平面的法向量为
设二面角的平面角为
,因为
为锐角,
所以二面角的平面角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效地改良玉米品种,为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如图(单位:厘米),设茎高大于或等于厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米
(1)完成列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过
的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?
(2)为了改良玉米品种,现采用分层抽样的方式从抗倒伏的玉米中抽出株,再从这
株玉米中选取
株进行杂交实验,选取的植株均为矮茎的概率是多少?
(,其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习,每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所.
(1)求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率;
(2)设,
分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数,记
,求随机变量
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学随机选取了名男生,将他们的身高作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,观察图中数据,完成下列问题.
()求
的值及样本中男生身高在
(单位:
)的人数.
()假设用一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,通过样本估计该校全体男生的平均身高.
()在样本中,从身高在
和
(单位:
)内的男生中任选两人,求这两人的身高都不低于
的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校的特长班有名学生,其中有体育生
名,艺术生
名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于
次/分到
次/分之间.现将数据分成五组,第一组
,第二组
,…,第五章
,按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为
.
(1)求的值,并求这
名同学心率的平均值;
(2)因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名,该学生是体育生的概率为,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为心率小于
次/分与常年进行系统的身体锻炼有关?说明你的理由.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计 | 50 |
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数),圆
与圆
外切于原点
,且两圆圆心的距离
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆
的极坐标方程;
(2)过点的直线
与圆
异于点
的交点分别为点
,与圆
异于点
的交点分别为点
,且
,求四边形
面积的最大值.
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