Question

已知函数f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-1，且给定条件p：“

π

4

≤x≤

π

2

”，
（1）求f（x）的最大值及最小值
（2）若又给条件q：“|f（x）-m|＜2“且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据两角和与差的公式进行化简，再由x的范围求出2x-

x

3

的范围，再结合正弦函数的性质可求出其最大、最小值．
（2）先根据|f（x）-m|＜2求出f（x）的范围，再由p是q的充分条件和（1）中f（x）的最大、最小值可得到m的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

cos2x-1=2sin2x-2

3

cos2x+1
=4sin（2x-

π

3

）+1．
又∵

π

4

≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x-

x

3

≤

2π

3

，
即3≤4sin（2x-

π

3

）+1≤5
∴f（x）_max=5，f（x）_min=3
（2）∵|f（x）-m|＜2，
∴m-2＜f（x）＜m+2
又p是q的充分条件
∵

m-2＜3 m+2＞5

，
∴3＜m＜5．

点评：本题主要考查两角和与差的公式的应用和正弦函数的性质．高考中对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意对基础知识的积累和运用的灵活性的锻炼．