Question

设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），g（x）=x²-x，记h（x）=f（x）+g（x）．
（1）h′（x）为h（x）的导函数，判断函数y=h′（x）的单调性，并加以证明；
（2）若函数y=|h（x）-a|-1=0有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=e^x+x²-x，∴h'（x）=e^x+2x-1，
令F（x）=h'（x），则F'（x）=e^x+2＞0，
∴F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，即h'（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知h'（x）在（-∞，+∞）上单调递增，而h'（0）=0，
∴h'（x）=0有唯一解x=0，x，h'（x），h（x）的变化情况如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	递减	极小值	递增

又∵函数y=|h（x）-a|-1有两个零点，
∴方程|h（x）-a|-1=0有两个根，即方程h（x）=a±1有两个根
而a+1＞a-1，∴a-1＜（h（x））_min=h（0）=1且a+1＞（h（x））_min=h（0）=1，
解得0＜a＜2．
所以，若函数y=|h（x）-a|-1有两个零点，实数a的取值范围是（0，2）
分析：（1）由函数y=h（x）求出它的导函数h′（x），令F（x）=h'（x），可根据其导函数的正负，即可得到函数单调区间即可．
（2）由（1）知h'（x）在（-∞，+∞）上单调递增，由导数法，可得h（x）的单调性，根据函数y=|h（x）-a|-1有两个零点，从而有方程|h（x）-a|-1=0有两个根，即方程h（x）=a±1有两个根，利用函数h（x）的最小值建立关于a的不等关系，即可得实数a的取值范围．
点评：考查学生利用导数研究函数的性质能力，函数单调性的判定，根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．