分析 由题意设AC=2BC=2x,由三边关系可得1<x<3,由余弦定理和同角三角函数基本关系可得可得sinC,进而可得S的表达式,由二次函数的最值可得.
解答 解:由题意设BC=x,则AC=2BC=2x,
由三角形三边关系可得$\left\{\begin{array}{l}{x+2x>3}\\{3+x>2x}\end{array}\right.$,解得1<x<3,
由余弦定理可得cosC=$\frac{{x}^{2}+4{x}^{2}-9}{2•x•2x}$=$\frac{5{x}^{2}-9}{4{x}^{2}}$,
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{-({x}^{4}-10{x}^{2}+9)}}{4{x}^{2}}$,
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$•x•2x•$\frac{3\sqrt{-({x}^{4}-10{x}^{2}+9)}}{4{x}^{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{-({x}^{4}-10{x}^{2}+9)}$,
当x2=-$\frac{-10}{2×1}$即x=$\sqrt{5}$时,上式取最大值3,
此时sinC=$\frac{3\sqrt{-({x}^{4}-10{x}^{2}+9)}}{4{x}^{2}}$=$\frac{3}{5}$,
故答案为:$\frac{3}{5}$.
点评 本题考查解三角形,涉及正余弦定理和三角形的面积公式以及二次函数的最值,属中档题.
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A. | ①是真命题,②是假命题 | B. | ①是假命题,②是真命题 | ||
C. | ①②都是真命题 | D. | ①②都是假命题 |
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A. | a<b<c | B. | b<a<c | C. | c<b<a | D. | c<a<b |
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