Question

已知函数f（x）在（-1，1）有意义，f（

1

2

）=-1且任意的x、y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），若数列{x_n}满足x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+ x 2 n

（n∈N^*），求f（x_n）．

Answer 1

分析：先判定出

2xn

1+ x 2 n

的范围，然后根据求出f（x₁），根据条件可得到

f(xn+1)

f(xn)

=2，从而得到f（x_n）是以-1为首项，以2为公比的等比数列，最后根据等比数列的定义求出通项公式．

解答：解：∵1+x_n²≥2|x_n|∴|

2xn

1+ x 2 n

| ≤1又x1=

1

2

∴|

2xn

1+ x 2 n

|＜1
f（x₁）=f（

1

2

）=-1
而f（x_n+1）=f（

2xn

1+ x 2 n

）=f（

xn+xn

1+xnxn

）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2
∴f（x_n）是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故f（x_n）=-2^n-1

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及等比数列的通项公式等知识，属于基础题．