Question

12．已知0＜k＜4，直线l₁：kx-2y-2k+8=0和直线${l_2}：2x+{k^2}y-4{k^2}-4=0$与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．

Answer 1

分析 求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．

解答 解：如图所示：
直线L：kx-2y-2k+8=0 即k（x-2）-2y+8=0，过定点B（2，4），
与y轴的交点C（0，4-k），
直线M：2x+k²y-4k²-4=0，即  2x+k² （y-4）-4=0，
过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k²+2，0），
由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，
∴所求四边形的面积为$\frac{1}{2}$×4×（2 k²+2-2）+$\frac{1}{2}$×（4-k+4）×2=4k²-k+8，
∴当k=$\frac{1}{8}$时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为$\frac{63}{8}$．

点评 本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．