Question

已知平面直角坐标系中，A（cosx，sinx），B（1，1），

OA

+

OB

=

OC

，f（x）=|

OC

|²．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用数量积运算、两角和的正弦公式、三角函数的图象与性质即可得出．
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题设知，

OA

=(cosx，sinx)，

OB

=(1，1)．
∴

OC

=

OA

+

OB

=(1+cosx，1+sinx)．
∴f（x）=|

OC

|2=(1+cosx)2+(1+sinx)2
=2sinx+2cosx+3=2

2

sin(x+

π

4

)
故最小正周期为2π．
对称中心横坐标满足x+

π

4

=kπ（k∈Z），即x=kπ-

π

4

（k∈Z）．
对称中心是(kπ-

π

4

，3)(k∈Z)．
（Ⅱ）当2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

时f（x）单增，
即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z．
又x∈[0，2π]，故f（x）的递增区间为[0，

π

4

]和[

5π

4

，2π]．

点评：熟练掌握数量积运算、两角和的正弦公式、三角函数的图象与性质是解题的关键．