Question

设二次函数f(x)＝ax²＋bx+c(a＞0），方程f(x)－x＝0的两根x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜．

（1）当x∈（0，x₁）时，证明x＜f(x)＜x₁；

 

（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x₀对称；

证明：x₀＜

Answer 1

解：

(1)令F(x)=f(x)-x，由x₁、x₂是方程f(x)-x=0的两根，有F(x)=a(x－x₁）（x－x₂）

 

当x∈（0，x₁）时，由x₁≤x₂，及a＞0，有F(x)=a(x－x₁）（x－x₂）＞0，?

 

即F(x)=f(x)-x＞0，f(x)＞x．?

 

又x₁－f(x)=x₁－［x＋F（x)］＝x₁－x－a（x－x₁）（x－x₂）＝（x₁－x）［1＋a（x－x₂）］

因为0＜x＜x₁＜x₂＜

 

所以x₁－x＞0，1＋a(x-x₂）＝1＋ax-ax₂＞1-ax₂＞0

 

得x₁＞f(x)，所以x＜f(x)＜x₁；?

 

（2）依题意x₀＝－，因x₁、x₂是f(x)-x=0的根，即x₁、x₂是方程ax²＋(b-1)x+c=0的根.

所以x₁＋x₂＝－，

 

x₀＝－＝＝

 

因为ax₂＜1，即ax₂－1＜0，故x₀＝＜＝．

 

评述：此题考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.考查证明不等式的方法.