Question

15．在数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求证数列{a_n}为等差数列，并求它的通项公式；
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{a_n^2}$，求证：${b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （I）$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}）$，化为a_n+1-a_n=2，即可证明；
（II）当n≥2时，${b_n}=\frac{1}{a_n^2}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＜$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．

解答 证明：（I）∵$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}）$，
化为a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）当n≥2时，
${b_n}=\frac{1}{a_n^2}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＜$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴b₁+b₂+…+b_n$＜1+\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$
=1+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n}）$$＜\frac{5}{4}$．
当n=1时也成立，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．