Question

已知等比数列{b_n}满足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，若对任意的n∈N^*，不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用na_n+1=2S_n，再写一式，两式相减，再叠乘，即可求数列{a_n}的通项公式；在在等比数列{b_n}满足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，公比均为

1

2

，由此可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和，再将不等式转化为（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），两式相减得，na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

an

=

n+1

n

，
∴a_n=a₁×

a2

a1

×…×

an

an-1

=n（n≥2），
a₁=1满足上式，故数列{a_n}的通项公式a_n=n（n∈N^*）．
在等比数列{b_n}满足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，公比均为

1

2

，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=(

1

2

)n；
（Ⅱ）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n     ①
∴

1

2

T_n=（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+…+（n-1）×(

1

2

)n+n×（

1

2

）ⁿ⁺¹       ②
由①-②，得

1

2

T_n=

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+(

1

2

)n-n×（

1

2

）ⁿ⁺¹=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=2-

n+2

2n

∴不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）即为λn（2-

n+2

2n

）+

n(n+1)

2n

＜2（λn+

3

2n

），
即（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0恒成立．
设f（n）=（1-λ）n²+（1-2λ）n-6，
当λ=1时，f（n）=-n-6＜0成立，则λ=1满足条件；
当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ＞1时，由于-

1-2λ

1-λ

＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，f（n）≤f（1）=-3λ-4＜0恒成立，则λ＞1满足条件．
综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求和是关键．