Question

设

a

=(cosx-sinx，2sinx)，

b

=(cosx+sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

，给出下列四个命题：
①函数在区间[

π

8

，

5π

8

]上是减函数；
②把f（x）图象按向量

v

=(-

π

8

，0)平移后得到函数g（x）的图象，则g（x）是偶函数；
③存在x∈(0，

π

4

)使f(x)=

2

3

④函数y=|f（x）|的最小正周期是π；其中正确命题的序号是

①②

．

Answer 1

分析：根据向量数量积坐标运算法则，结合三角恒等变换化简得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．由正弦函数的单调区间公式，解关于x的不等式得到[

π

8

，

5π

8

]是函数f（x）的一个减区间，故①正确；根据函数图象平移公式和诱导公式，可得f（x）图象按向量

v

=(-

π

8

，0)平移后得到y=

2

cos2x的图象，是偶函数故②正确；由正弦函数的图象与性质可得当x∈(0，

π

4

)时f（x）的最小值大于1，因此③不正确；根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期和y=|sinx|的图象特征，得到④不正确．

解答：解：∵

a

=(cosx-sinx，2sinx)，

b

=(cosx+sinx，cosx)，
∴f(x)=

a

•

b

=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）
①∵令2x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]（k∈Z），可得x∈[

π

8

+kπ，

5π

8

+2kπ]（k∈Z）
∴取k=0，得区间[

π

8

，

5π

8

]是函数f（x）的一个减区间，故①正确；
②把f（x）图象按向量

v

=(-

π

8

，0)平移后，得到y=f（x+

π

8

）=

2

sin[2（x+

π

8

）+

π

4

]=

2

sin（2x+

π

2

），
即y=

2

cos2x的图象，所以平移后的图象为偶函数，故②正确；
③当x∈(0，

π

4

)时，2x+

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），可得sin（2x+

π

4

）∈（

2

2

，1）
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）∈（1，

2

）．故不存在x∈(0，

π

4

)使f(x)=

2

3

，从而③不正确；
④∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的周期为T=

2π

2

=π，
∴y=|f（x）|的周期为

1

2

×π=

π

2

，因此④不正确
综上所述，可得正确的命题只有①②
故答案为：①②

点评：本题以向量的数量积运算为载体，求函数f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的图象与性质．着重考查了平面向量数量积的坐标公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．