Question

若直线

x

a

+

y

b

=1通过点M（cosα，sinα），则（　　）

• A、a²+b²≤1
• B、a²+b²≥1
• C、

  1

  a2

  +

  1

  b2

  ≤1
• D、

  1

  a2

  +

  1

  b2

  ≥1

Answer 1

分析：由题意可得（bcosα+asinα）²=a²b²，再利用 （bcosα+asinα）²≤（a²+b²）•（cos²α+sin²α），化简可得

1

a2

+

1

b2

≥1．

解答：解：若直线

x

a

+

y

b

=1通过点M（cosα，sinα），则

cosα

a

+

sinα

b

= 1，
∴bcosα+asinα=ab，∴（bcosα+asinα）²=a²b²．
∵（bcosα+asinα）²≤（a²+b²）•（cos²α+sin²α）=（a²+b²），
∴a²b²≤（a²+b²），∴

1

a2

+

1

b2

≥1，
故选D．

点评：本题考查恒过定点的直线，不等式性质的应用，利用 （bcosα+asinα）²≤（a²+b²）•（cos²α+sin²α），是解题的难点．