Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范围．
（2）将a=1代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值．
（3）先判断函数f（x）的单调性，令x=

n

n-1

代入函数f（x）根据单调性得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，令n=1，2，…代入可证．

解答：解：（1）∵f(x)=

1-x

ax

+lnx
∴f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴f′(x)=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（2）当a=1时，f′(x)=

x-1

x2

，
∴当x∈[

1

2

，1)时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[

1

2

，1)上单调递减；
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上单调递增，
∴f（x）在区间[

1

2

，2]上有唯一极小值点，故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0
又f(

1

2

)=1-ln2，f(2)=-

1

2

+ln2，f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

∵e³＞16
∴f(

1

2

)-f(2)＞0，即f(

1

2

)＞f(2)
∴f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值f(x)max=f(

1

2

)=1-ln2
综上可知，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）当a=1时，f(x)=

1-x

x

+lnx，f′(x)=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，ln

4

3

＞

1

4

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

∴lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

即对大于1的任意正整数n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．