Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+(a-6)x+(4-2a)lnx，g（x）=-x²+2x+b
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在（0，m），（n，+∞）上单调递增，在（m，n）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入f（x）后，对f（x）进行求导，然后利用导数求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已经知道f（x）的值域，题中对?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），对这问题进行转化为：g（x）_max＜f（x）_min即可，利用配方法求出g（x）的最小值；
（Ⅲ）题中f（x）在（0，m），（n，+∞）上单调递增，在（m，n）上单调递减，可以推出m，n为f（x）的两个极值点，再利用方程的系数与根的关系求出a的范围；

解答：解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）
当a=2时，f(x)=

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3

x3-4x，f'（x）=x²-4，
令f'（x）=0
得x=2或x=-2（舍）

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

∴f（x）的递减区间为（0，2），递增区间为（2，+∞）
（Ⅱ）∵?x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）＞g（x₂）成立
∴g（x）_max＜f（x）_min
由（Ⅰ）知f(x)min=f(2)=-

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3

g（x）=-（x-1）²+1+b
g（x）_max=g（1）=1+b
∴1+b＜-

16

3

∴b＜-

19

3

（Ⅲ）f′(x)=x2+(a-6)+

4-2a

x

=

x3+(a-6)x+4-2a

x

由条件知m，n恰为f'（x）=0的两个不相等正根，
即x³+（a-6）x+4-2a=0恰有两个不相等正根，
对于方程a（x-2）+x³-6x+4=0显然x=2是方程的一个解，
当x≠2时，a=-x²-2x+2=-（x+1）²+3（x＞0且x≠2）
当x＞0时，-x²-2x+2＜2
当x=2时，-x²-2x+2=-6
∴a＜2且a≠-6

点评：考查学生会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件，此题还涉及到了转化的思想，把复杂的问题转化为我们所熟悉的知识；