Question

已知圆C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x₁，y₁)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer 1

（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.

解析试题分析：（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；
（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.
试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)²＋(y－2)²＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)由|PO|＝|PM|，得：
＝(x₁＋1)²＋(y₁－2)²－2⇒2x₁－4y₁＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.
考点：直线和圆的方程的应用．