Question

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx+2sinxcos（x+

π

6

），（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C+

π

12

）=0，且

CA

•

CB

=8，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）由倍角公式和两角和的正弦公式化简解析式可得f（x）=2sin(2x+

π

6

)，即可求最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）化简已知可得C=

π

3

，由

CA

•

CB

=bccosC=8，可得bc=16，即可求△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+2sinx(

3

2

cosx-

1

2

sinx)
=

3

sin2x+cos2x-sin2x
=

3

sin2x+cos2x=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)
=2sin(2x+

π

6

)
所以，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
所以，对称轴方程是：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z

（Ⅱ）f(C+

π

12

)=2sin[2(C+

π

12

)+

π

6

]=2sin(2C+

π

3

)=0
得2C+

π

3

=π，
∴C=

π

3

CA

•

CB

=bccosC=8，

1

2

bc=8，
∴bc=16
∴S△ABC=

1

2

absinA=

1

2

×16×

3

2

=4

3

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式、倍角公式，三角形面积公式的应用，考察了平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，综合性强，属于中档题．