【题目】已知函数(为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求整数的最大值.
【答案】(1)见解析;(2) 的最大值为1.
【解析】
(1)根据的不同范围,判断导函数的符号,从而得到的单调性;(2)方法一:构造新函数,通过讨论的范围,判断单调性,从而确定结果;方法二:利用分离变量法,把问题变为,求解函数最小值得到结果.
(1)
当时, 在上递增;
当时,令,解得:
在上递减,在上递增;
当时, 在上递减
(2)由题意得:
即对于恒成立
方法一、令,则
当时, 在上递增,且,符合题意;
当时, 时,单调递增
则存在,使得,且在上递减,在上递增
由得:
又 整数的最大值为
另一方面,时,,
,
时成立
方法二、原不等式等价于:恒成立
令
令,则
在上递增,又,
存在,使得
且在上递减,在上递增
又,
又,整数的最大值为
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【题目】有2012位学者参加某数学会议,他们中有些人相互认识,且满足:
(1)每个人至少认识其中的671个人;
(2)对于其中任意两个人、,若、相互不认识,则总可以通过其他人间接认识,即存在,使得认识,认识,认识;
(3)不可以将2012位学者排成一排,使得相邻的两个人相互认识.
证明:可以将2012位学者分成两组,其中一组能够排成一圈,使得相邻的人相互认识,另一组任何两个人不认识.
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【题目】已知,抛物线: 与抛物线: 异于原点的交点为,且抛物线在点处的切线与轴交于点,抛物线在点处的切线与轴交于点,与轴交于点.
(1)若直线与抛物线交于点, ,且,求;
(2)证明: 的面积与四边形的面积之比为定值.
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【题目】甲、乙两地相距,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度(单位:)的平方成正比,且比例系数为,固定部分为元.
(1)把全程运输成本(元)表示为速度的函数,并求出当,时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;
(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当,元,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.
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【题目】某运动员每次射击命中不低于8环的概率为,命中8环以下的概率为,现用随机模拟的方法估计该运动员三次射击中有两次命中不低于8环,一次命中8环以下的概率:先用计算器产生0至9之间取整数值的随机数.指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8环,6、7、8、9表示命中8环以下,再以三个随机数作为一组.代表三次射击的结果,产生如下20组随机数:
524207443815510013429966027954
576086324409472796544917460962
据此估计,该运动员三次射击中有两次命中不低于8环,一次命中8环以下的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】某大型电器企业,为了解组装车间职工的生活情况,从中随机抽取了名职工进行测试,得到频数分布表如下:
日组装个数 | ||||||
人数 | 6 | 12 | 34 | 30 | 10 | 8 |
(1)现从参与测试的日组装个数少于的职工中任意选取人,求至少有人日组装个数少于的概率;
(2)由频数分布表可以认为,此次测试得到的日组装个数服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表).
(
(ii)为鼓励职工提高技能,企业决定对日组装个数超过的职工日工资增加元,若在组装车间所有职工中任意选取人,求这三人增加的日工资总额的期望.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
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【题目】已知函数f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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