Question

【题目】如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．

（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；
（2）当 时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使 = 求点K的轨迹．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系．

设M（m，0），则：A（0，0），B（a，0），C（m，m），F（m，a﹣m），

， ，

⊙P方程为： ，即：x2+y2﹣mx﹣my=0 ①，

⊙Q方程为： 即：x2+y2﹣（a+m）x﹣（a﹣m）y+am=0 ②．

①﹣②得，公共弦MN所在直线方程：ax+（a﹣2m）y﹣am=0．

整理得：（ax+ay）+m（﹣2y﹣a）=0，

∴MN恒过定点 ；

（2）解：当 时， ，

⊙Q： ，即： ．

设G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直线斜率为k，

则： ， ， ，

由题意， ，即： ．

把y=kx代入⊙Q方程，得： ，

由韦达定理得： ， ，

∴ ，将 代入整理，得：2x+y﹣a=0．

∴点K的轨迹是直线2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一条线段．

【解析】（1）以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出圆P、圆Q的方程，由圆系方程求得MN所在直线方程，再由直线系方程可得直线MN都通过一定点；（2）由题意求出M的坐标，得到圆Q的方程，设G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），K（x，y），GH所在直线斜率为k，由 = ，可得 ，整理后代入根与系数的关系可得点K的轨迹是直线2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一条线段．