Question

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
（Ⅰ）求这个组合体的表面积；
（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中A₁B₁BA为正方形、
（i）求证：A₁B⊥平面AB₁C₁D；
（ii）是否存在棱A₁D₁上一点P，使直线AP与平面AB₁C₁D所成角为30°？

Answer 1

分析：（I）由三视图知组合体底部为长方体，上部为半个圆柱 长方体的棱长分别为8，8，10，做出长方体所露出的部分的表面积，做出半个圆柱的表面积，得到结果．
（II）（i）要证明线与面垂直，需要先在面上找出两条相交直线，证明这两条相交直线与已知直线垂直，选择的线是AD，AB₁
（i）建立坐标系，写出要用的几个点的坐标，根据长方体的性质作出面的法向量，根据直线的方向向量与面的法向量之间的角是60度，根据两个向量的夹角公式，列出关于x的方程，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱
长方体的棱长分别为8，8，10，
∴长方体所露出的部分的表面积是2×8×8+2×8×10+8×10=368
半个圆柱的表面积是π×4×10+4×4×π=56π，
∴空间组合体的表面积是368+56π
（Ⅱ）（i）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴AD⊥平面A₁B₁BA
∵A₁B?平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁B
又∵A₁B₁BA是边长为8的正方形

∴A₁B⊥AB₁
∵AB₁∩AD=A
∴A₁B⊥平面AB₁C₁D．
（ii）存在点P，满足条件，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立坐标系，
A（10，0，O），A₁（10，0，8），B（10，8，0），P（x，0，8）
由题意知AB₁是面的一个法向量

A1B

=(0，8，-8)，

AP

=(x-10，0，8)，
∵直线AP与平面AB₁C₁D所成角为30°，
∴

-64

8 2 × 64+(x-10)2

=-

1

2

，
∴x²-20x+36=0
∴x=2，或x=18（舍去）
∴存在一个点P，这个点在距离D₁长度为2的地方．

点评：本题主要考查了由三视图还原实物图的能力，直线与平面垂直的判定定理的应用，平面展开图的运用，解决此题的关键是要求考生具备很强的空间想象能力．