Question

【题目】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，．

（1）求四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD；

（2）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）证明PO⊥平面ABCD，计算PO，AC，BD，代入体积公式计算；

（2）过C构造平面BCE，使得平面BCE∥BDF，利用三角形的中线的性质得出M的位置．

（1）解：∵底面ABCD是菱形，∴O为AC，BD的中点

又∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD，

∵AC∩BD=O，AC面ABCD，BD面ABCD，

∴PO⊥底面ABCD．

△PAC中，AC=2，∴，△PBD中，，，

．

（2）过C作CE∥BD交AB延长线于E，过E作EH∥BF交PA于H，EH与PB交点为M，

∵CE∥BD，BD面BDF，CE面BDF，∴CE∥面BDF，

∵EH∥BF，BF面BDF，EH面BDF，∴EH∥面BDF，

又∵CE∩EH=E，CE面CEM，EH面CEM，

∴面BDF∥面CEM，CM面CEM，

∴CM∥面BDF，

∵BD∥CE，DC∥BE，

∴四边形BECD为平行四边形，∴DC=BE=AB，B为AE中点，

∵∴H为PA中点，

∴M为中线PB与中线EH的交点，

∴M是△APE的重心，∴=．