Question

已知函数f(x)=asin

2π

5

x+btan

π

5

x(a，b为常数，x∈R)．若f(1)=-1，则不等式f(24)＞lo

g

x 2

的解集为

（0，2）

．

Answer 1

分析：根据三角函数的奇偶性得f（x）是奇函数，从而得到f（-1）=asin(-

2π

5

)+btan(-

π

5

)=1．再用正弦、正切的诱导公式，化简整理可得f（24）=1，原不等式化简为log₂x＜1，解之即可得到所求解集．

解答：解：∵f(x)=asin

2π

5

x+btan

π

5

x
∴f(-x)=-asin

2π

5

x-btan

π

5

x=-f（x），可得f（x）是奇函数
∵f（1）=asin

2π

5

+btan

π

5

=-1，∴f（-1）=asin(-

2π

5

)+btan(-

π

5

)=1
而f（24）=asin

48π

5

+btan

24π

5

=asin(10π-

2π

5

)+btan(5π-

π

5

)=asin(-

2π

5

)+btan(-

π

5

)
∴f（24）=1，不等式f（24）＞log₂x即log₂x＜1=log₂2
解之得0＜x＜2，得原不等式的解集为（0，2）
故答案为：（0，2）

点评：本题给出三角函数式，要求根据此函数式解关于x的不等式，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数诱导公式和对数不等式的解法等知识，属于中档题．