Question

如图所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正四面体D-ABC组成的几何体中，AA₁=1，AB=2，O₁是正三角形A₁B₁C₁的中心
（I）求证：DO₁⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求平面ACD与平面AA₁B₁B所成的二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结O₁A₁，由已知条件得

A1B1

•

O1D

=0，从而O₁D⊥A₁B₁，同理，O₁D⊥B₁C₁，由此能证明DO₁⊥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）以A₁为原点，A₁C₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACD与平面AA₁B₁B所成的二面角（锐角）的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结O₁A₁，依题意有|O₁A₁|=

2 3

3

，

O1D

=

O1A1

+

A1A

+

AD

，
∴

A1B1

•

O1D

=

A1B1

•（

O1A1

+

A1A

+

AD

）
=

A1B1

•

O1A1

+

A1B1

•

A1A

+

A1B1

•

AD

=2×

2 3

3

×cos150°+

AB

•

AD

=-2+2×2×cos60°=0，
∴O₁D⊥A₁B₁，同理，O₁D⊥B₁C₁，
又A₁B₁∩B₁C₁=B₁，
∴DO₁⊥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DO₁经过△ABC的中心O，
连结AO，则AO=

2 3

3

，DO=

2 6

3

，
以A₁为原点，A₁C₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（0，0，0），A（0，0，1），B1(

3

，1，0)，C(0，2，1)，
D（

3

3

，1，

2 6

3

+1），
∴

A1B1

=（

3

，1，0），

A1A

=（0，0，1），

AC

=(0，2，0)，

AD

=（

3

3

，1，

2 6

3

），
设平面AA₁B₁B的一个法向量为

n

=（x，y，z），
由

n

⊥

A1A

，

n

⊥

A1B1

，得：

z=0 3 x+y=0

，令x=1，得

n

=（-2

2

，0，1），
同理求得平面ACD的一个法向量为

m

=（-2

2

，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

-2 2

2×3

=-

2

3

．
∴平面ACD与平面AA₁B₁B所成的二面角（锐角）的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面所成二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．