Question

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=，设PC与AD的夹角为θ．
（1）求点A到平面PBD的距离；
（2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系
，设面PBD的法向量为，则，得面PBD的一个法向量为，
所以点A到平面PBD的距离…（7分）
（2）P（0，0，2）、C（2 ，2，0），则有 =（2 ，2，-2），又 =（0，1，0）
则异面直线PC与AD所成角θ满足cosθ==，
所以，异面直线PC与AD所成角的大小为60°
设Q（x，y，0），则
∴
化解得3y²-x²=4…（14分）
分析：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，进而可求面PBD的一个法向量，利用点A到平面PBD的距离公式求解；
（2）根据cosθ=，故先求相应的向量，从而可求异面直线PC与AD所成角．要使平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，故由从而可得轨迹方程．
点评：本题以四棱锥为载体，考查点面距离，考查线线角，考查轨迹问题，关键是建立空间直角坐标系．