A. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | D. | $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ |
分析 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,可以结合由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质,由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质.
解答 解:类比在正三角形ABC内部(不包括边界)任取一点P,P点到三边的距离分别为h1,h2,h3,则h1+h2+h3为定值,可得:
P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点,则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值,
如图:连接PA,PB,PC,PD,则三棱锥P-ABC,P-ABD,P-ACD,P-BCD的体积分别为:V1,V2,V3,V4,
由棱长为a可以得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,BE=$\frac{2}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a,
在直角三角形ABE中,根据勾股定理可以得到
AE2=AB2-BE2,即AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a,即h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a,(其中h为正四面体A-BCD的高),
故正四面体的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$,
正四面体的四个面△ABC,△ACD,△ABD,△BCD的面积均为 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$
则V=V1+V2+V3+V4=$\frac{1}{3}$(h1+h2+h3+h4) $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$
解得:h1+h2+h3+h4=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a,
∴即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点,则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值 $\frac{\sqrt{6}}{3}$a.
又正四面体棱长为2,即a=2,
∴定值为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
故选:D.
点评 本题考查的知识点是类比推理,考查学生的推理论证能力,属于基础题.
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