Question

【题目】如图，椭圆x2+ =1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2 ，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标yM的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，a=1，c= ，b=2，

∴双曲线Γ的方程 =1

（2）解：由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0

∴x=﹣1或x2= ，

∴Q（ ， ），M（﹣ ， ）

∴yM= = 在（0，2）上单调递增，∴yM∈（0，1）

（3）解：由题意，kAPkBP= =4，

同理kAPkOM=﹣4，

∴kOM+kBP=0，

设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x= ，

∵kOM+kBP=0，∴直线BP与OM关于直线x= 对称

【解析】（1）求由题意，a=1，c= ，b=2，即可双曲线Γ的方程；（2）yM= = 在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标yM的取值范围；（3）求出kOM+kBP=0，可得直线BP与OM关于直线x= 对称