Question

若直线ax+2by-2=0（a，b∈（0，+∞）平分圆x²+y²-4x-2y-6=0，则

1

a

+

2

b

的最小值是（　　）

• A、4

  2

• B、3+2

  2

• C、2
• D、5

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准形式后，找出圆心坐标，因为直线平分圆，得到已知直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程即可得到a与b之和为1，然后把所求的式子乘以1即a+b，化简后，由a与b都为正数，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．

解答：解：依题意，圆x²+y²-4x-2y-6=0化为标准方程得：（x-2）²+（y-1）²=11，
直线ax+2by-2=0平分圆，即圆心（2，1）在直线上，
所以得到2a+2b-2=0，即a+b=1，又a，b∈（0，+∞），
所以a+b=1，

1

a

+

2

b

=（a+b）•（

1

a

+

2

b

）=1+2+

b

a

+

2a

b

≥3+2

2

，
当且仅当

a+b=1 b a = 2a b

时，等号成立，
选择B

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用基本不等式求出函数的最值，是一道综合题．本题的突破点是将“1”变为a与b的和，将所求的式子进行化简．