Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2且a_n+1-2=a_n．
（1）求使不等式S_n＜56成立的n的最大值；
（2）是否存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉？若存在，则求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n-1-2=a_n，知a_n-1-a_n=2，故Sn=2n+2×

n(n-1)

2

=n²+n．由此能求出使不等式S_n＜56成立的n的最大值．
（2）存在存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．由a_n=2n，知a₃=6，a₉=18，a₁=2，则由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，由此能推导出存在以b₁=2为首项，公比为3的等比数列{b_n}，其通项公式为bn=2•3n-1．

解答：解：（1）∵a_n-1-2=a_n，
∴a_n-1-a_n=2，
即数列{a_n}是以2为首项，公差为2的等差数列，
∴Sn=2n+2×

n(n-1)

2

=n²+n．
∴由S_n＜56，得0＜n＜7，n∈N^*．
故使不等式S_n＜56成立的n的最大值为6．
（2）存在存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．
由（1）知，a_n=2n，
∴a₃=6，a₉=18，a₁=2，
则由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，
得

b2

b1

=

b3

b2

=3，
即存在以b₁=2为首项，公比为3的等比数列{b_n}，
其通项公式为bn=2•3n-1．

点评：本题考查等比数列的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．