Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2的正方形，AA₁⊥底面ABCD，
AA₁=3，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点
（1）当AF∥平面BDE时，求CE的长；
（2）当CE=1时，求二面角A₁-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁，分别为X，Y，Z轴，分别求出各点的坐标，进而求出直线AF的方向向量及平面BDE的法向量，代入线面夹角向量法公式，即可得到满足条件的E的坐标，进而求出答案．
（2）求出平面A₁BE的一个法向量的坐标及平面BDE的一个法向量的坐标，代入二面角向量法公式，即可得到二面角A₁-BE-D的余弦值．

解答：解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）F（0，1，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），C₁（0，2，2）（2分）
（1）设CE=a，则E（0，2，a）
设

n

=(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，

DB• n =0 DE • n =0

，

n

=(a，-a，2)，（4分）
又

AF

=(-2，1，2)，又

AF

•

n

=0，CE=a=

4

3

（6分）
（2）设

m

=(x，y，z)是平面A₁BE的法向量

BE• m =0 BA1 • m =0

，

m

=(1，2，2)，（8分）
又

n

=(1，-1，2)，cos＜

m

，

n

＞=

6

6

，（11分）
所以二面角A₁-BE-D的余弦值为

6

6

（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的性质，其中建立空间坐标系，然后将空间直线与平面、平面与平面位置关系转化为向量之间的关系，是解答本题的关键．